Schwingungsgleichung
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Inhaltsverzeichnis |
Schwingung
Eine Schwingung (auch Oszillation) bezeichnet den Verlauf einer Zustandsänderung, wenn ein System auf Grund einer Störung aus dem Gleichgewicht gebracht und durch eine rücktreibende Kraft (Rückstellkraft) wieder in Richtung des Ausgangszustandes gezwungen wird. Grundsätzlich basiert das Schwingen eines Systems auf der Energieumwandlung zwischen zwei Energieformen.
harmonische Schwingung
Unter harmonischer Schwingung versteht man den periodischen ungedämpften Wechsel eines Zustandes mit gleichem Aussschlag (Pendel). Harmonische Schwingungen kommen in der Natur nicht vor, da eine Bewegung immer gleichzeitig mit Energieverlust (Reibung im einfachsten Fall) und Entropiezunahme verbunden ist.
Gleichung eine harmonischen Schwingung:
- <math>
y(t)=y_0\cdot\sin(2\pi f t+\varphi_0) \, </math>
mit
- <math>
y_0</math> = Amplitude(maximaler Ausschlag) und
- <math>\varphi_0</math> = Anfangsphase der Schwingung.
- <math>2 \pi f</math> = Kreisfrequenz
Gedämpfte Schwingungen
Tatsächliche physikalische Systeme sind immer gedämpft.
Stellt man das Momentengleichgewicht einer freien gedämpften Schwingung auf, so findet man folgende allgemeine Bewegungsgleichung:
- <math>
\mathit{J} \ddot \varphi + \mathit{k} \dot \varphi + \mathit{D} \varphi = 0 \, </math>
J: Massenträgheitsmoment
k: Dämpfungskoeffizient (nicht zu verwechseln mit der Abklingkonstante) (lineare Dämpfung)
D: Federkonstante (Rückstellmoment)
Formeln für eine harmonische Schwingung
<math> x(t) = A* sin(\omega t)</math>
<math> x'(t) = v(t) = A \omega* cos(\omega t)</math>
<math> x(t) = a(t) = - A \omega^2* sin(\omega t)</math>
