Integralrechnung

Integralrechnung (Quelle: aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie)

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Das Integral ist eine lineare Abbildung, die einer Funktion auf einem gegebenen Integrationsbereich einen Zahlwert oder eine Funktion zuordnet. Dieser Vorgang heißt Integration.

Anschauliche Darstellung des Integrals als Flächeninhalt S unter einer Kurve der Funktion f im Integrationsbereich von a bis b.Das Integral einer reellen Funktion einer Variablen wird im zweidimensionalen Koordinatensystem als die Flächenbilanz zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse gedeutet, bei Funktionen mehrerer Veränderlicher entspricht es einem Volumen.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt, besagt, dass Integrale (einer reellen Funktion einer Variablen) aus Stammfunktionen berechnet werden können. Das Bestimmen von Stammfunktionen ist die umgekehrte Aufgabe zur Differentiation und wird auch unbestimmte Integration genannt.

Im Gegensatz zur Differentiation existiert allerdings für die unbestimmte Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, Benutzung spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, partielle Integration) oder/und Nachschlagen in einer Integraltafel. Oft erfolgt die Integration auch nur näherungsweise als so genannte numerische Quadratur. In der Technik benutzt man zur Integration bzw. Flächenbestimmung so genannte Planimeter, bei welchen die Summierung der Flächenelemente kontinuierlich erfolgt. Der Zahlenwert der so bestimmten Fläche kann an einem Zählwerk abgelesen werden, welches zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit mit einem Nonius versehen ist.