Differentialrechnung

Die Differentialrechnung ( Ableitung ) aus dem Gebiet der Analysis befasst sich mit der Differenzierbarkeit einzelner Punkte eines Graphes f(x). Die Differentialrechnung bildet zusammen mit der Integralrechnung das Gebiet der Infinitisemalrechnung. Sie stellt in den Naturwissenschaften ein unverzichtbares Werkzeug bereit.

Anwendungsbeispiel

Ein Autofahrer fährt eine Strecke von A nach B.

Erstellt man nun einen Funktionsgraphen f(x), der einmal die mittlere Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke des Fahrers widergibt, so kann man zu jedem Zeitpunkt der Fahrt mit Hilfe von zwei Positionen bestimmen, wie lang eine Etappe war und welche Geschwindigkeit er fuhr. Z.B.: "Nachdem der Fahrer die Hälfte seiner Strecke zurückgelegt hatte, stellte er fest, dass die Etappe bis jetzt 200 km lang war und er durchschnittlich 100 km/h fuhr."

Nun sei die Frage welche durchschnittliche Geschwindigkeit der Autofahrer an einem Punkt der Strecke hatte und wieviel Kilometer er zurückgelegt hat. Diese Frage lässt sich durch eine Ableitung beantworten:

mathematische Definition

Gegeben sei der Graph der Funktion <math> f(x) </math>. Man wähle nun zwei Punkte (A,B), die auf dem Graphen liegen und verbinde diese auf dem kürzesten Weg mit einer unendlichen Linie. So erhält man eine Sekante. Es lässt sich nun leicht die Steigung des Graphes an diesem Punkt ermitteln, über die wir das unmittelbare Verhalten des Graphes auf der Etappe zwischen A und B erhalten.

Die Sekantensteigung sei definiert durch:

<math> \Delta m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{(x_0+ \Delta x)-x_0}</math>

Das Verhalten des Graphes in einem einzelnen Punkt wird definiert durch seine Tangente. Um dies zu ermitteln bedient man sich der Hilfe eines Grenzwerts. Der Punkt B wird nun infinitisemal nah an Punkt A herangeschoben, so dass man mathematisch die Sekantensteigung auf einen unendlich kleinen Abstand zwischen A und B reduziert.

Um dies zu erhalten, bedient man sich der Grenzwert(Limes) - Rechnung:

Exkurs: Ein Grenzwert lässt eine Funktion unendlich nah gegen null laufen. So ergibt die Beziehung 1/x z.B. 0, wenn man x gegen unendlich laufen lässt. Der Bruch kann dann durch die unendliche große Zahl im Nenner als 0 angenommen werden.

Für den Graphen definiert sich nun ein Grenzwert (Limes), der den Punkt B unendlich nahe an A heranlaufen lässt:

Um mit dieser beziehung rechnen zu können, wird die Beziehung <math>h=x-x_0</math> ersetzt (Substitution). Hier sieht man, wenn Punkt x0 gegen x läuft, dann ist das gewünschte Ergebnis x0 = x. Also Punkt B = Punkt A. Damit wird aus <math>h = x-x_0 => h = x - x => h = 0</math> und wir erhalten eine Grenzwertigkeit. Da <math>h=x-x_0</math> gilt auch <math> x = h+x_0</math>:

<math>\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0 +h) - f(x_0)}{h}</math> (mit <math>h = x - x_0</math>)

Bedeutung

Mit obenstehnder Formel lässt sich nun die Ableitung einer Funktion berechnen. Sind die Koordinaten des Punktes A bekannt, kann über die Ableitungsfunktion, die Steigung des "Originalgraphes" an der Stelle A berechnet werden. Die Ableitung eines Graphes wird durch einen Strich gekennzeichnet: <math> f'(x)</math>.

Die Ableitungsfunktion stellt nun die Steigung des Graphes in jedem seiner Punkte dar. So lassen sich Funktionen auch mehrmal differenzieren. Die Ableitung einer Ableitung wird gekennzeichnet durch zwei Striche, usw.

Bsp.:

eine lineare Funktion: <math>f(x) = x </math>, kann sinnvoll einmal abgeleitet werden

eine quadratische Funktion: <math>f(x)= x^2</math>, kann sinnvoll zweimal abgeleitet werden

eine kubische Funktion: <math>f(x)=x^3</math>, kann sinnvoll dreimal abgeleitet werden

Klassisches Rechenbeispiel

Das Ableiten einer Funktion mittels folgender Form macht ein Mathematiker höchstens ein paar Mal in seinem Leben. Danach gibt es Ableitungsregeln, nach denen man schnell Funktionen identifizieren kann. Einige Beispiele gibt es hier: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Gesucht sei die Ableitung von <math> f(x) = x^3</math>

<math> \frac{\Delta y}{\Delta x}

      = \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}
      = \frac{(x_0+h)^3 - (x_0)^3}{h} </math>

und erhält im Limes <math> h \to 0 </math> die Ableitung

<math> f'(x_0)

      = \lim_{h\to 0}(3 x_0^2 + 3 x_0 h + h^2)
      = 3 x_0^2 . </math>

Ableitung zusammengesetzter Funktionen

Mit den folgenden Regeln kann man die Ableitung zusammengesetzter Funktionen auf Ableitungen einfacherer Funktionen zurückführen.

Mit f(x), g(x), h(x) gleich stetig differenzierbare Funktionen:

Konstante Funktion: <math>\left(a\right)' = 0</math>

Faktorregel: <math>(a\cdot f)' = a\cdot f'</math>

Summenregel: <math>\left(g \pm h\right)' = g' \pm h'</math>

Produktregel: <math>(g\cdot h)' = g' \cdot h + g \cdot h'</math>

Quotientenregel: <math>\left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g' \cdot h - g \cdot h'}{h^2}</math>
Potenzregel: <math>\left(x^n\right)' = n x^{n-1} </math>

Kettenregel: <math>(g \circ h)'(x) = (g(h(x)))' = g'(h(x))\cdot h'(x)</math>

Anwendung in der Technik

Der Raddurchmesser einer Lokomotive sei d. Es wird angenommen, dass der Kolben der Dampfmaschine, die Räder antreibt und eine harmonische Schwingung ausführt. Der maximale Kolbenhub sei h. Wie groß sind bei einer Geschwindigkeit v, der Lokomotive:

a) die maximale Kolbengeschwindigkeit v(t)_m ?

b) die maximale Kolbenbeschleunigung a(t)_m ?

[ d = 2,3 m , h = 0,64 m , v = 120 km/h [mal 10/36 m/s]

Der Kolben soll über die Strecke h/2 beschleunigen, um danach wieder zu verzögern. Somit ergibt sich für eine Schwingungsfunktion, die die Kolbenbewegung über die Zeit beschreibt, ein maximaler Ausschlag von A = h/2 (Amplitude). Die Winkelgeschwindigkeit omega (w) des Kolbens, sei definiert mit <math> v = \omega * r </math> und <math> a = \omega / r </math>. Es gilt die Schwingungsgleichung:

<math> x(t) = A* sin(\omega t)</math>

Nach zweimaliger Ableitung ergibt sich (Kettenregel beachten, s.o.):

<math> x'(t) = v(t) = A \omega* cos(\omega t)</math> , 1te Ableitung

<math> x(t) = a(t) = - A \omega^2* sin(\omega t)</math> , 2te Ableitung

Erklärung: Die Ausgangsfunktion x(t) beschreibt zunächst den zurückglegten Weg (y-achse) zur zeit t (x-achse). Daraus ergibt sich eine periodische Funktion, da der Kolben beschleunigt und verzögert. Die Sekantensteigung eines beliebigen Punktes auf dem Graphen ist beschrieben durch m = y / x , was m/s = Geschwindigkeit ergibt. Selbiges gilt für die 2te Ableitung mit y/x => m/s geteilt durch die Zeit => Beschleunigung.

Der Rest ist nun einfach. Als Gleichung ergibt sich:

a) <math> v(t)_m = \frac{h}{2} \omega *cos(\omega t)</math> , mit <math>cos(\omega t) = 1</math> , da der Kolben nach der halben Strecke wieder verzögert und zu diesem Zeitpunkt v_max erreicht wurde.

<math> => v(t)_m = \frac{h}{2} \omega => \omega = \frac{2 v(t)_m}{h} </math>

<math> v = \omega r = \frac{2 v(t)_m r}{h}

=> v(t)_m = \frac{v * h}{2r} = \frac{v * h}{d} = \frac{120 m * 10 * 0,64 m}{2,3 m * 36 s} = 9,3 \frac{m}{s} </math>

b)

In der harmonischen Schwingungsfunktion gilt für die Beschleunigung, sie ist maximal mit <math> sin(\omega t) = -1 </math>

<math> a(t)_m = \omega^2 \frac{h}{2} = (\frac{v}{r})^2 \frac{h}{2} = (\frac{2v}{d})^2 \frac{h}{2} = 270 \frac{m}{s^2} </math>

Quellen und Verweise

Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Differentialrechnung auf wikipedia.de

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